Question

如图所示，在三棱柱中，，，点分别是的中点．
 
(1)求证：平面∥平面；
(2)求证：平面⊥平面；
（3）若，，求异面直线所成的角。

Answer 1

(1) 详见解析(2) 详见解析(3)详见解析

解析试题分析：（1）根据平面几何可证,可证得面面垂直；（2）根据D是AB的中点，可证面，证得面面垂直；（3）异面直线所成的角，转化成相交直线所成的角，然后在所在三角形内解决角的问题.

试题解析：解：（1）证明：在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∵点D，D₁分别是AB，A₁B₁的中点，D₁B₁AD∴四边形ADB₁D₁为平行四边形∴AD₁∥DB₁∵AD₁平面CDB₁∴AD₁//平面CDB₁,同理可证C₁D₁∥平面CDB₁∵AD1D₁C₁=D₁∴平面AC₁D₁∥平面CDB    4分
(2)证明：∵AA₁⊥平面ABC，CD平面ABC∴AA₁⊥CD。∵AC=BC
D是AB的中点∴CD⊥AB∵AA₁AB=A∴CD⊥平面ABB₁A₁
∵CD平面ABC∴平面CDB₁⊥平面ABB₁A₁    9分
（3）连接BC1交B1C于E，连接DE，取AA1中点F，连接EF，又∵D是AB中点，∴AC1 ∥DE,DF∥A1B ∴ ∠EDF是异面直线所成的角。设AC=1DE=，DF=，EF∴DE²+ DF²= EF²∴∠EDF=90^O∴异面直线所成的角为90^O。13分
也可能证明   也可得异面直线所成的角为90^O    13分
考点：1.面面垂直的判定；2.面面平行的判定；3.异面直线所成的角.