Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M，N分别为PB，BC的中点，且PA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）若PA=1，求二面角M-AC-N的大小．

Answer 1

分析：（1）以AN，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题设条件得出各点的坐标，求出两直线MN与BD的方向向量，利用内积为0证明两线垂直；
（2）PA=1，利用线面垂直的条件求出两个平面的法向量，再由公式cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

求出两平面夹角的余弦值，再由值求角．

解答：（1）证明：∵N是BC的中点，故AN⊥BC，AN⊥AD，以AN，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PA=a
则A(0，0，0)，B(

3

，-1，0)，N(

3

，0，0)，C(

3

，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，a)
∴M(

3

2

，-

1

2

，

a

2

)…（1分）

MN

=(

3

2

，

1

2

，-

a

2

)，

BD

=(-

3

，3，0)，

MN

•

BD

=0，即MN⊥AC
（2）解：平面NAC的法向量为n₁=（0，0，1），设平面MAC的法向量为n₂=（x₀，y₀，z₀）
∵PA=a=1，
∴M(

3

2

，-

1

2

，

1

2

)，

AM

=(

3

2

，-

1

2

，

1

2

)，而

AC

=(

3

，1，0)
∴由

n2 • AC =0 n2 • AM =0

得

(x0，y0，z0)•( 3 ，1，0)=0 (x0，y0，z0)•( 3 2 ，- 1 2 1 2 )=0

∴平面MAC的法向量可取n₂=（-1，

3

，2

3

）  
设二面角M-AC-N的大小为θ，则cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2 3

4

=

3

2

，
∴θ=30⁰

点评：本题考查空间向量求二面角，及用空间向量证明线线垂直，本题解题的关键是建立坐标系，把难度比较大的二面角的求法，线面角的求法等问题转化成了数字的运算．大大降低了解题的难度．