Question

3．求证：$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2．

Answer 1

分析 化简所证明不等式的左侧，利用基本不等式求解表达式的最值，即可证明结果．

解答 证明：$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\frac{{x}^{2}+2+1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥$2\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+2}×\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}}$=2，
当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+2}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，即x²+2=1时，等号成立，这是不可能的，
所以：$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2．

点评 本题考查不等式的证明，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．