Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0且f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1），并求证：f（

1

x

）=-f（x）
（2）证明f（x）在定义域上是增函数．
（3）如果f（

1

3

）=-1求满足不等式f（

1

x-2

）≥2的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值即令x=y=1的方法易得f（1），令y=

1

x

，结合f（1）的值，可证得f（

1

x

）=-f（x）
（2）抽象函数的单调性的证明，需要特别的构造方法，本题中的特点是含有f（xy），因此在设出0＜x₁＜x₂之后想到构造出：

x2

x1

＞1，可应用已知得到f（

x2

x1

）＞0，进而根据函数单调性的定义得到结论
（3）根据f（

1

3

）=-1，结合（1）（2）中的结论，可将f（

1

x-2

）≥2具体化，进而根据函数的定义，解不等式可得答案．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）
解得f（1）=0
令y=

1

x

，则f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0
故f（

1

x

）=-f（x）
（2）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，则f（

x2

x1

）＞0，
则令x=x₁，y=

x2

x1

，
则f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁）
故f（x）在定义域上是增函数
（3）∵f（

1

3

）=-1，
∴f（3）=1，f（9）=f（3）+f（3）=2
又∵f（x）在定义域上是增函数，
故不等式f（

1

x-2

）≥2可化为f（

1

x-2

）≥f（9）
即

1

x-2

≥9
解得2＜x≤

19

9

即满足条件的x的取值范围为（2，

19

9

]

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，抽象不等式的解法，熟练掌握抽象函数的解答技巧--“凑”是解答的关键．