Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

sn

n

）（n∈N⁺）在函数y=-x+12的图象上．
（1）写出S_n关于n的函数表达式；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析：（1）根据点（n，

sn

n

）（n∈N*）均在函数y=-x+12的图象上，则点的坐标适合方程，代入方程即可求出S_n关于n的函数表达式；
（2）当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1求出通项，验证首项即可证明数列{a_n}是等差数列．

解答：解 （1）由题设得，

sn

n

=-n+12，
即S_n=n（-n+12）=-n²+12n．
（2）当n=1时，a_n=a₁=S₁=11；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-（-（n-1）²+12（n-1））=-2n+13；
由于此时-2×1+13=11=a₁，
从而数列{a_n}的通项公式是a_n=-2n+13．
故数列{a_n}是等差数列．

点评：本题主要考查了数列与函数的综合运用，以及等差数列的通项公式和等差关系的确定，属于中档题．