题目内容
【题目】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)如果当,且
时,
恒成立,求实数
的范围.
【答案】(1)的单调递增区间
和
;
的单调递减区间
.
(2)实数的取值范围是
.
【解析】分析:(1)求出函数的导数,对分
和
两种情况讨论,即可得到函数的单调性;
(2)由题意把式子化为
,设
,
由(1)的结论,即可求解实数的取值范围;或把
可化为
,设
,求得
得出函数的单调性,令洛必达法则求解.
详解:(1)定义域为,
,
设,
,
①当时,对称轴
,
,所以
,
在
上是增函数,
②当时,
,所以
,
在
上是增函数,
③当时,令
得
,
,
令,解得
,
;令
,解得
,
所以的单调递增区间
和
;
的单调递减区间
.
(2)可化为
,设
,
由(1)知:
①当时,
在
上是增函数,若
时,
;
所以,
若时,
,所以
,所以,当
时,
式成立.
②当时,
在
是减函数,所以
式不成立,
综上,实数的取值范围是
.
解法二:可化为
,设
,
,
令,
,
,
,
;
,
;
,
在
上,又
,
,
,
,
;
所以,
;
,
;
在
,
,
由洛必达法则
,所以
.
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