Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）抛物线的准线为 x=-

p

2

，于是 4+

p

2

=5，p=2，由此可知抛物线方程为y²=4x．
（Ⅱ）由题意得B，M的坐标，kFA=

4

3

，kMN=-

3

4

，直线FA的方程，直线MN的方程，由此可知点N的坐标即可；
（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为2．当m=4时，直线AP的方程为x=4，此时，直线AP与圆M相离；当m≠4时，写出直线AP的方程，圆心M（0，2）到直线AP的距离，由此可判断直线AP与圆M的位置关系．

解答：解：（1）抛物线y2=2px的准线为x=-

p

2

，于是4+

p

2

=5，∴p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），∴kFA=

4

3

；MN⊥FA，∴kMN=-

3

4

，
则FA的方程为y=

4

3

（x-1），MN的方程为y-2=-

3

4

x．*k*s*5*u
解方程组

y= 4 3 (x-1) y-2=- 3 4 x

，得

x= 8 5 y= 4 5

，∴N(

8

5

，

4

5

)．
（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，
当m≠4时，直线AK的方程为y=

4

4-m

(x-m)，即为4x-（4-m）y-4m=0，
圆心M（0，2）到直线AK的距离d=

|2m+8|

16+(m-4)2

，令d＞2，解得m＞1∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；
当m=1时，直线AK与圆M相切；
当m＜1时，直线AK与圆M相交．

点评：本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．