题目内容
【题目】在直三棱柱中,
为正三角形,点
在棱
上,且
,点
、
分别为棱
、
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若,求直线
与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)连接,连接
分别交
、
于点
、
,再连接
,证明出
,结合条件
可得出
,然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出
平面
;
(2)取的中点
,连接
、
,证明出
平面
,且
,设等边三角形
的边长为
,并设
,以点
为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
,由
得出
的值,并计算出平面
的法向量,利用空间向量法求出直线
与平面
所成的角的正弦值.
(1)如下图所示,连接,连接
分别交
、
于点
、
,再连接
,
、
分别为
、
的中点,则
,
,则
为
的中点,
在直三棱柱中,
,则四边形
为平行四边形,
,
为
的中点,
,
,
,
,
平面
,
平面
,
平面
;
(2)取的中点
,连接
、
,
四边形
为平行四边形,则
,
、
分别为
、
的中点,
,所以,四边形
是平行四边形,
,在直三棱柱
中,
平面
,
平面
,
是等边三角形,且点
是
的中点,
,
以点为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
,
设的边长为
,
,则点
、
、
、
、
、
、
,
,
,
,则
,得
,
,
,
.
设平面的法向量为
,由
,得
.
令,可得
,
,所以,平面
的一个法向量为
,
,
因此,直线与平面
所成的角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时,需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8:30 之前送到维修处,并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数,具体数据如下表:
日期 | 1 日 | 2 日 | 3 日 | 4 日 | 5 日 | 6 日 | 7 日 | 8 日 | 9 日 | 10 日 |
元件A个数 | 9 | 15 | 12 | 18 | 12 | 18 | 9 | 9 | 24 | 12 |
日期 | 11 日 | 12 日 | 13 日 | 14 日 | 15 日 | 16 日 | 17 日 | 18 日 | 19 日 | 20 日 |
元件A个数 | 12 | 24 | 15 | 15 | 15 | 12 | 15 | 15 | 15 | 24 |
从这20天中随机选取一天,随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.
(Ⅰ)求X的分布列与数学期望;
(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求
最大值;
(Ⅲ)目前维修处有两名工人从事维修工作,为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个,至少需要增加几名维修工人?(只需写出结论)