题目内容

有下列命题:①在空间中,若OA∥O'A',OB∥O'B',则∠AOB=∠A'O'B';
②直角梯形是平面图形;
③{长方体}⊆{正四棱柱}⊆{直平行六面体};
④若a、b是两条异面直线,a?平面α,a∥平面β,b∥平面α,则α∥β;
⑤在四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,则点A在面PBC内的射影为△PBC的垂心,其中真命题的个数是


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4
B
分析:根据空间两条平行线的性质,结合等角定理及其推论,可得①不正确;根据平面的基本性质,得到②正确;根据四棱柱的分类,得到{长方体}?{正四棱柱},③不正确;根据线面平行的判定与性质和面面平行的判定定理,若在④中加上“b?平面β”这个前提,就是真命题,少了这一条④就不正确;根据线面垂直的判定与性质,可以证明出⑤是真命题.由此得到正确答案.
解答:对于①在空间中,若OA∥O'A',OB∥O'B',则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°,故①不正确;
对于②,因为直角梯形的上下底所在直线是两条平行线,故直角梯形是平面图形,所以②正确;
对于③,长方体是底面为矩形的直四棱柱,不一定是正四棱柱,故{长方体}?{正四棱柱},③不正确;
对于④,a、b是两条异面直线,若a?平面α,a∥平面β,b?平面β,b∥平面α,则α∥β.
但题设中没有“b?平面β”这个前提,就不能得到平面α∥β,故④不正确;
对于⑤,在四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,
设点A在面PBC内的射影为H,连接AH、PH,则
∵AH⊥面PBC,BC?面PBC,∴BC⊥AH
∵PA⊥BC,AH、PA是平面PAH内的相交直线,
∴BC⊥面PAH,结合PH?面PAH,可得PH⊥BC
同样的方法,可以证出CH⊥PB,从而得到△PBC的垂心,故⑤正确.
综上所述,正确的命题是②⑤,共2个
故选B
点评:本题结合空间中的几个命题真假的判断,考查了线面平行和线面垂直、面面平行等空间中直线与平面之间的位置关系的知识点,属于基础题.
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