Question

18．有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，若a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=425，且（a₁+1）²+（a₂+1）²+（a₃+1）²+…+（a₂₀₁₅+1）²=3870，则有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中值为0的项数是（　　）

• A． 1000
• B． 1010
• C． 1015
• D． 1030

Answer 1

分析 （a₁+1）²+（a₂+1）²+（a₃+1）²+…+（a₂₀₁₅+1）²=3870，展开把a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=425，代入化简可得：${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+…+{a}_{2015}^{2}$=1005，
由于数列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，即可得出．

解答 解：（a₁+1）²+（a₂+1）²+（a₃+1）²+…+（a₂₀₁₅+1）²=3870，
展开可得：${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+…+{a}_{2015}^{2}$+2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）+2015=3870，
把a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=425，代入化简可得：
${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+…+{a}_{2015}^{2}$=1005，
∵数列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，
∴有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a₂₀₁₅中值为0的项数=2015-1005=1010．
故选：B．

点评 本题考查了乘法公式化简求值、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．