题目内容
6.某质点A从时刻t=0开始沿某方向运动的位移为:S(t)=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{3}-6{t}^{2}+9t(0≤t<4)}\\{{t}^{2}-10t+28(t≥4)}\end{array}\right.$(1)比较质点A在时刻t=3与t=5的瞬时速度大小;
(2)若另一个质点B也从时刻t=0开始沿与A相同的方向从同一个地点匀速运动,运动速度为$\frac{15}{4}$,质点B何时领先于质点A最远?并且求此最远距离.
分析 (1)分段求出函数的导数,再代值计算比较即可;
(2)表示出质点B领先于质点A的距离为S2(t)的函数关系式,并求导,利用函数的单调性求出函数的最值.
解答 解:(1)当0≤t<4时,S′(t)=3t2-12t+9,
S′(3)=3×9-12×3+9=0,
当t>4时,S′(t)=2t-10,S′(5)=2×5-10=0,
所以质点A在时刻t=3与t=5的瞬时速度大小相等;
(2)质点B的位移为S1(t)=$\frac{15}{4}$t,
质点B领先于质点A的距离为S2(t)=S1(t)-s(t)=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{3}+6{t}^{2}-\frac{21}{4}t,(0≤t<4)}\\{-{t}^{2}+\frac{55}{4}t-28,(t≥4)}\end{array}\right.$,
当0≤t<4时,S′(t)=3t2-12t-$\frac{21}{4}$,
令S′(t)=0,则t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{7}{2}$,
可知S2(t)在[0,$\frac{1}{2}$)和($\frac{7}{2}$,4]上单调递减,在($\frac{1}{2}$,$\frac{7}{2}$)上单调递增,
并且S2(0)=0,S2($\frac{7}{2}$)=$\frac{49}{4}$,
当t≥4时,S2(t)在t=$\frac{55}{8}$处取得最大值为S2($\frac{55}{8}$)=$\frac{1233}{64}$.
点评 本题考查了导数在实际问题中的应用,关键是导数和函数的单调性和最值的关系,属于中档题.
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