题目内容
已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y恒有等式f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞0．给出如下结论：①f（0）=0；
②f（x）是R上的增函数
③f（x）在R上不具有单调性；
④f（x）是奇函数．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②④
D．①③④
【答案】分析：根据性质f（x+y）=f（x）+f（y）成立与当x＞0时，f（x）＞0，代入特值0验证①；
根据函数的单调性定义，构造x1＜x2，证明f（x2）-f（x1）与0的大小验证②③；
根据函数奇偶性的定义构造f（-x）验证是否=-f（x）验证④．
解答：解：令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，∴①√；
∵f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x），令x1＜x2，f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴②√；
由②正确，∴③×；
∵x∈R，f（-x）=-f（x），∴④√；
故答案是①②④
点评：本题考查抽象函数的性质，要注意抽象函数的性质证明要紧扣定义．
根据函数的单调性定义，构造x1＜x2，证明f（x2）-f（x1）与0的大小验证②③；
根据函数奇偶性的定义构造f（-x）验证是否=-f（x）验证④．
解答：解：令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，∴①√；
∵f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x），令x1＜x2，f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴②√；
由②正确，∴③×；
∵x∈R，f（-x）=-f（x），∴④√；
故答案是①②④
点评：本题考查抽象函数的性质，要注意抽象函数的性质证明要紧扣定义．
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