题目内容
11．已知函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）满足：f（$\frac{8}{3}$π）=f（$\frac{14}{3}$π），且在区间（$\frac{8}{3}$π，$\frac{14}{3}$π）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：P1：f（x）在[0，2π]上单调递减；
P2：f（x）的最小正周期是4π；
P3：f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称；
P4：f（x）的图象关于点（-$\frac{4}{3}$π，0）对称．其中的真命题是（ ）
| A． | P1，P2 | B． | P2，P4 | C． | P1，P3 | D． | P3，P4 |
分析 根据f（$\frac{8}{3}$π）=f（$\frac{14}{3}$π），可得f（x）的图象的一条对称轴方程为 x=$\frac{11π}{3}$．再根据函数在区间（$\frac{8}{3}$π，$\frac{14}{3}$π）内有最大值但没有最小值，求得ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．再利用余弦函数的图象的对称性，余弦函数的值域和单调性，判断各个命题是否正确，从而得出结论．
解答 解：由函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）满足：f（$\frac{8}{3}$π）=f（$\frac{14}{3}$π），
可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程为 x=$\frac{11π}{3}$．
再根据函数在区间（$\frac{8}{3}$π，$\frac{14}{3}$π）内有最大值但没有最小值，
可得ω×$\frac{11π}{3}$+$\frac{π}{6}$=2kπ，k∈Z，且$\frac{14π}{3}$-$\frac{8π}{3}$＜$\frac{2π}{ω}$，
即ω=$\frac{6k-\frac{1}{2}}{11}$ 且0＜ω＜1，∴ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
对于P1，在[0，2π]上，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，f（x）在[0，2π]上不单调，故P1不正确；
对于P2，f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，故P2正确；
对于P3，当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）=cos$\frac{5π}{12}$，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，故P3不正确；
对于P4，当x=-$\frac{4π}{3}$时，f（x）=cos（-$\frac{π}{2}$）=0，故f（x）的图象关于点（-$\frac{4}{3}$π，0）对称；故P4正确，
故选：B．
点评 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，余弦函数的值域和单调性，属于中档题．
