题目内容

如图所示，在△ABC中， $数学公式$ ， $数学公式$ ，M在y轴上，且 $数学公式$ ，C在x轴上移动．
（Ⅰ）求点B的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点 $数学公式$ 的直线l交轨迹E于H，G两点（H在F，G之间），若 $数学公式$ ，求直线l的斜率．

解：（Ⅰ）设B（x，y），C（a，0），M（0，b），a≠0，∵ $\text{[math]}$ ，即∠ACB=90°∴ $\text{[math]}$ ，
于是a²=2b①M在y轴上，且 $\text{[math]}$ ，∴M是BC的中点，可得 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ②
把②代入①得y=x²（x≠0），所以B的轨迹E的方程为y=x²（x≠0）（6分）
（Ⅱ）点 $\text{[math]}$ ，设满足条件的直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，H（x₁，y₁），G（x₂，y₂）
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，△=k²-1＞0，∴k²＞1，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴3x₁=x₂，
∵x₁+x₂=k， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （13分）
直线l的斜率： $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）先设B（x，y），C（a，0），M（0，b），a≠0，根据 $\text{[math]}$ ，得出∠ACB=90°，于是a²=2b，再结合M在y轴上，及题中向量关系得出M是BC的中点，x，y的关系式即为B的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设满足条件的直线l的方程，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量关系式即可求得k值，从而解决问题．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，提高解题能力和解题时技巧，注意合理地进行等价转化．