题目内容

如图所示,在△ABC中,数学公式数学公式,M在y轴上,且数学公式,C在x轴上移动.
(Ⅰ)求点B的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点数学公式的直线l交轨迹E于H,G两点(H在F,G之间),若数学公式,求直线l的斜率.

解:(Ⅰ)设B(x,y),C(a,0),M(0,b),a≠0,∵,即∠ACB=90°∴
于是a2=2b①M在y轴上,且,∴M是BC的中点,可得
把②代入①得y=x2(x≠0),所以B的轨迹E的方程为y=x2(x≠0)(6分)
(Ⅱ)点,设满足条件的直线l的方程为,H(x1,y1),G(x2,y2
,△=k2-1>0,∴k2>1,



∴3x1=x2
∵x1+x2=k,
(13分)
直线l的斜率:
分析:(Ⅰ)先设B(x,y),C(a,0),M(0,b),a≠0,根据,得出∠ACB=90°,于是a2=2b,再结合M在y轴上,及题中向量关系得出M是BC的中点,x,y的关系式即为B的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设满足条件的直线l的方程,将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向量关系式即可求得k值,从而解决问题.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,提高解题能力和解题时技巧,注意合理地进行等价转化.
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