Question

已知命题p：“对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立”，命题q：“方程（a-1）x²+（3-a）y²-（3-a）（a-1）=0表示焦点在x轴上的椭圆”．
（1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）命题p是真命题时，分a=0时和a≠0时两种情况加以讨论，结合一元二次不等式恒成立的条件解关于a的不等式，即可得到实数a的取值范围；
（2）由焦点在x轴上椭圆的形式，建立关于a的不等式，解出当q为真命题时a的取值范围．然后分p真q假和p假q真两种情况，分别找出符合题意a的范围，再综合可得满足条件a的取值范围．

解答：解：（1）命题p是真命题，即对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立
∴①a=0时，原不等式变成1＞0，显然恒成立；
②当a≠0时，

a＞0 △=a2-4a＜0

，解之得0≤a＜4
综上所述，得实数a的取值范围是[0，4]；
（2）若命题q为真，则

3-a＞0 a-1＞0 3-a＞a-1

，解之得1＜a＜2，
∵命题p，q中有且只有一个真命题，
∴当p为真命题、q为假命题时，a∈[0，1]∪[2，4）；
当q为真命题、p为假命题时，找不到a符合条件的a值
综上所述，可得实数a的取值范围为[0，1]∪[2，4）．

点评：本题给出关于一元二次不等式和椭圆的两个命题，求命题p为真时实数a的取值范围，并求p、q只有一个真命题时实数a的范围．着重考查了一元二次不等式恒成立、椭圆的标准方程和命题真假的判断等知识，属于中档题．