题目内容
【题目】已知分别是椭圆
的左、右焦点,离心率为
,
分别是椭圆的上、下顶点,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于相异两点
,且满足直线
的斜率之积为
,证明:直线
恒过定点,并采定点的坐标.
【答案】(1)(2)直线
恒过定点
.
【解析】试题分析:(1)设出相关点坐标,利用和离心率为
得到几何元素间的关系即可求解;(2)联立直线和椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系、斜率公式得到等式,进而利用直线方程判定其过定点.
试题解析:(1)由题知,
,
,∴
,
.
∴ ①
由,得
② 又
③
由①②③联立解得:
∴椭圆的方程为
.
(2)证明:由椭圆的方程得,上顶点
,
设,
,由题意知,
由得:
∴,
又,
,
由,得
,
即:,
∴,
化简得:
解得:,结合
知
,
即直线恒过定点
.
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