Question

已知圆C：x²+y²-6y-16=0与x轴相交于F₁、F₂，与y轴正半轴相交于B，以F₁、F₂为焦点，且经过点B的椭圆记为G．
（1）求椭圆G的方程；
（2）根据椭圆的对称性，任意椭圆都有一个四边都与椭圆相切的正方形，这个正方形称为椭圆的外切正方形，试求椭圆G外切正方形四边所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）先利用条件求出焦点坐标以及点的坐标，即可求出a，b，c以及求出椭圆方程．
（2）先把其中一边设出来，利用相切对应判别式为0，求出直线方程，就可另三边所在直线方程．

解答：解：（1）

x2+y2-6y-16=0 y=0

得F₁（-4，0）、F₂（4，0），
解

x2+y2-6y-16=0 x=0

得B（0，8），所以c=4，b=8，a=

a2+b2

=4

5

，
所以椭圆G的方程是

x2

80

+

y2

64

=1．
（2）根据椭圆的对称性，设外切正方形一边的方程为：y=x+b，
由

x2 80 + y2 64 =1 y=x+b

得9x²+10bx+5b²-320=0，由△=（10b）²-4×9×（5b²-320）=0（11分），解得b=±12，
正方形四边所在直线为y=x±12，y=-x±12．

点评：本题只要考查圆与椭圆的综合问题．其中涉及到了椭圆的外切正方形，在设正方形的边时，要借助于图象分析出直线特点．