题目内容
7.求函数y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$,x∈(0,+∞)的值域.分析 利用分离常数法得y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$=3-$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$,再利用换元法令x+2=t,从而求函数的值域.
解答 解:y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$=3-$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$,
令x+2=t,
∵x≥0,∴t≥2,
∴x=t-2,
y=3-$\frac{t}{(t-2)^{2}+(t-2)+1}$
=3-$\frac{t}{{t}^{2}-3t+3}$
=3-$\frac{1}{t+\frac{3}{t}-3}$,
∵t+$\frac{3}{t}$在[2,+∞)上单调递增,
∴t+$\frac{3}{t}$-3≥$\frac{1}{2}$,
∴0<$\frac{1}{t+\frac{3}{t}-3}$≤2,
故y∈[1,3).
故函数y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$,x∈(0,+∞)的值域为[1,3).
点评 本题考查了函数的值域的求法,利用了分离常数法与换元法等,属于中档题.
练习册系列答案
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