Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PC=4

2

．M是PC的中点，在DM上有点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：AP∥GH．

Answer 1

分析：（1）四棱锥P-ABCD以四边形ABCD为底，以PA为高，可求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）证明PA∥平面BMD，可得结论．

解答：（1）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，而AC=2

2

，PC=4

2

，∴PA=

PC2-AC2

=2

6

∴三棱锥P-ABCD的体积为V=

1

3

•PA•SABCD=

1

3

×2

6

×4=

8 6

3

；
（2）证明：连接AC交BD于点O，连接MO．
∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，
又M为PC中点，∴OM是△CAP的中位线，∴AP∥OM，
而AP?平面BMD，OM?平面BMD，∴PA∥平面BMD．
又∵平面PAHG∩平面BMD=GH，
∴PA∥GH．

点评：本题考查四棱锥体积的计算，考查线面平行的判定与性质，掌握线面平行的判定定理是关键．