Question

20．设A（0，3），B（4，5），点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值是4$\sqrt{5}$，此时P点坐标是（$\frac{3}{2}$，0）．

Answer 1

分析 求出点A关于x轴的对称点为A′，利用两点之间线段最短进行求解即可．

解答 解：点A关于x轴的对称点为A′（0，-3），
则|PA|=|PA′|，
则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|，
∵|A′B|=$\sqrt{{4}^{2}+（-3-5）^{2}}$=$\sqrt{16+64}$=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$，
∴|PA|+|PB|的最小值是4$\sqrt{5}$，
直线A′B的方程为：$\frac{y+3}{5+3}=\frac{x-0}{4-0}$，
即y=2x-3，
令y=0，得x=$\frac{3}{2}$，
即与x轴的交点即为P（$\frac{3}{2}$，0），
故答案为：4$\sqrt{5}$，（$\frac{3}{2}$，0）

点评 本题主要考查两点间的距离的问题，利用点的对称性转化为两点之间线段最短是解决本题的关键．