Question

3．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}|$=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P、Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，且∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数λ，使得$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$，若存在，请求出λ的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出△AOC是等腰直角三角形，C（1，1），由点C在椭圆上，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1，a=2$，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）对于椭圆上两点P，Q，由∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，知PC与CQ所在直线关于x=1对称，k_PC=k，则k_CQ=-k，PC的直线方程为y=k（x-1）+1，QC的直线方程为y=-k（x-1）+1，由此求出PQ∥AB，从而得到存在实数λ，使得$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$，求出|$\overrightarrow{PQ}$|的最大值，即可得出结论．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=0，∴∠ACB=90°，
又|$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}|$=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|，即|$\overrightarrow{BC}$|=2|$\overrightarrow{AC}$|，
∴△AOC是等腰直角三角形  …（2分）
∵A（2，0），∴C（1，1），
而点C在椭圆上，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1，a=2$
∴b²=$\frac{4}{3}$，
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$；                                 …（4分）
（II）对于椭圆上两点P，Q，
∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，
k_PC=k，则k_CQ=-k，…（6分）
∵C（1，1），∴PC的直线方程为y=k（x-1）+1，①
QC的直线方程为y=-k（x-1）+1，②
将①代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，③
∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程③的一个根，∴x_P=$\frac{3{k}^{2}-6k-1}{1+3{k}^{2}}$…（8分）
以-k替换k，得到x_Q=$\frac{3{k}^{2}+6k-1}{3{k}^{2}+1}$．
∴k_PQ=$\frac{k（{x}_{P}+{x}_{Q}）-2k}{{x}_{P}-{x}_{Q}}$=$\frac{1}{3}$
∵∠ACB=90°，A（2，0），C（1，1），弦BC过椭圆的中心O，
∴A（2，0），B（-1，-1），∴k_AB=$\frac{1}{3}$，
∴k_PQ=k_AB，∴PQ∥AB，
∴存在实数λ，使得$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{AB}$  …（10分）
|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{（\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}）^{2}+（\frac{-4k}{1+3{k}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{160}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}}$≤$\frac{2\sqrt{30}}{3}$
当$9{k}^{2}=\frac{1}{{k}^{2}}$时即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号，
又|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{10}$，λ_max=$\frac{\frac{2\sqrt{30}}{3}}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$                      …（13分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．