Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若是函数的两个极值点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）由题意知，函数的定义域为，对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性并求其极值即可；

（2）对函数进行求导，设，根据函数极值点的定义转化为有二不等正根，，利用一元二次方程根的分布的相关知识求出的取值范围，利用韦达定理求出之间的关系，通过作差求出的表达式，设，则，通过构造函数并对其求导判断单调性求其最值即可求出的取值范围.

（1）由题意知，函数的定义域为，

因为，

所以可得之间的关系如下表：

				1
		0		0
		极大值		极小值

∴由表中的数据可知，

，.

（2）由题意知，，

设，

因为函数存在两个极值点，

所以有二不等正根，，

∴，解得，

因为，是方程的两根，

由韦达定理可得，，，即，

由可得，，

由可得，

∴，

∵，，∴，

设，则，

所以，∴在上单调递减，

∴，即的取值范围为.