题目内容

已知定义在实数集R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2x)

    1)证明:函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;

    2)若方程f(x)=0有三个根,并且已知x=0的方程的一个根,求方程另外两个根;

    3)若函数y=f(x)是偶函数,并且当x∈[02]时,f(x)=2x1,写出函数在[40]上的解析式。

 

答案:
解析:

(1)证明  设P(xoyo),是y=f(x)图象上任一点,则有y=f(xo)。又P(xoyo)关于直线x=2的对称点是P′(4-xoyo),

   ∴f(4-xo)=f[2+(2-xo)]=f[2-(2-xo)]=f(xo)=yo

    ∴P(4-xoyo)也在函数y=f(x)的图象上。

    故y=f(x)的图象关于直线x=2对称。

    (2)解  ∵x=0是方程的一个根,∴f(O)=0,

    又f(O)=f(2-2)=f(2+2)=f(4),

    ∴x=4是方程的一个根,

    设另一个根为xo,即,f(xo)=0,

    由,f(xo)=f[2+(xo-2)]=f[2-(xo-2)]=f[4-xo],

    可知必有4-xo=xo,即xo=2,

    所以方程另二根为x1=2,x2=4。

    (3)解  ∵x∈[0,2]时,f(x)=2x-1

    又函数图象关于直线x=2对称,∴x∈[2,4]时,f(x)=2(4-x)-1=7-2x

    ∵y=f(x)是偶函数。

    ∴当x∈[-2,0]时,f(x)=2(-x)-1=-2x-1,

    当x∈[-4,-2]时,f(x)=7-2(-x)=7+2x

    故 

 


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