题目内容
已知定义在实数集R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),
(1)证明:函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
(2)若方程f(x)=0有三个根,并且已知x=0的方程的一个根,求方程另外两个根;
(3)若函数y=f(x)是偶函数,并且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,写出函数在[-4,0]上的解析式。
答案:
解析:
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(1)证明 设P(xo,yo),是y=f(x)图象上任一点,则有y=f(xo)。又P(xo,yo)关于直线x=2的对称点是P′(4-xo,yo), ∴f(4-xo)=f[2+(2-xo)]=f[2-(2-xo)]=f(xo)=yo, ∴P(4-xo,yo)也在函数y=f(x)的图象上。 故y=f(x)的图象关于直线x=2对称。 (2)解 ∵x=0是方程的一个根,∴f(O)=0, 又f(O)=f(2-2)=f(2+2)=f(4), ∴x=4是方程的一个根, 设另一个根为xo,即,f(xo)=0, 由,f(xo)=f[2+(xo-2)]=f[2-(xo-2)]=f[4-xo], 可知必有4-xo=xo,即xo=2, 所以方程另二根为x1=2,x2=4。 (3)解 ∵x∈[0,2]时,f(x)=2x-1 又函数图象关于直线x=2对称,∴x∈[2,4]时,f(x)=2(4-x)-1=7-2x, ∵y=f(x)是偶函数。 ∴当x∈[-2,0]时,f(x)=2(-x)-1=-2x-1, 当x∈[-4,-2]时,f(x)=7-2(-x)=7+2x, 故
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