Question

已知m∈R，函数f（x）=x²-m^x，g（x）=lnx．
（1）当x∈[1，2]时，如果函数f（x）的最大值为f（1），求m的取值范围；
（2）若对有意义的任意x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围；
（3）当m在什么范围内取值时，方程f（x）=g（x）分别无实根？只有一实根？有两个不同实根？

Answer 1

分析：（1）本问题求出函数的最值代入已知最大值为f（1），即可解得参数m的值，
（2）本题恒成立问题转化为函数的最值来解答，具体方法是由f（x）＞g（x）等价于x²-mx＞lnx，即m＜

x2-lnx

x

=x-

lnx

x

，构造出函数t(x)=x-

lnx

x

，利用导数工具可以求解．
（3）我们对本题可以这样处理，想根据函数y=x²，y=mx，y=lnx的图象的增减性，判断猜测出参数m取值时分别对应方程的根的情况，然后来证明这个结论．证明时可利用新构造的函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数以及函数的单调性，求出函数的最值来判断根x₀的性质以辨别是否存在这个根．

解答：解：（1）函数f（x）=x²-mx的图象开口向上，函数在x=1或x=2处取得最大值，则f（1）≥f（2），1-m≥4-2m，得：m≥3．
（2）f（x）＞g（x）等价于x²-mx＞lnx，其中x＞0，即：由m＜

x2-lnx

x

=x-

lnx

x

，令t(x)=x-

lnx

x

，得t′(x)=

x2+lnx-1

x2

，
当x=1时t′（x）=0，当x∈（0，1）时t′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时t′（x）＞0，m＜t（x）_min=t（1）=1，∴m＜1．
（3）设h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，其中x＞0．观察得当m=1时，方程f（x）=g（x）即为：x²-x-lnx=0的一个根为x=1．猜测当m＜1，m=1，m＞1时方程分别无根，只有一个根，有且只有两个根．
证明：∵h′（x）=2x-m-

1

x

=

2x2-mx-1

x2

=0，等价于2x²-mx-1=0此方程有且只有一个正根为x0=

m+ m2+8

4

，
且当x∈（0，x₀）时，h′（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，h′（x）＞0，函数只有一个极值h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀．
1°当m＜1时，由（2）得f（x）＞g（x）恒成立，方程无解．
2°当m=1时，x₀=1，h（x）_min=h（1）=0，则h（x）≥h（x）_min=0，当且仅当x=1时，h（x）=0，此时只有一个根x=1．
3°当m＞1时，x0=

m+ m2+8

4

，关于m在（1，+∞）上递增，∴x₀∈（1，+∞）时lnx₀＞0，∵m＞1?1＜m²?8＜8m²?m²+8＜9m²?

m2+8

＜3m
?m+

m2+8

＜4m?

m+ m2+8

4

＜ m?x₀＜m．∴h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀=x₀（x₀-m）-lnx₀＜0．证毕

点评：本题考查二次函数在定区间上的最值问题，函数类型简单，是一个二次函数，第一问的设计很容易，后面两问的综合性较强，对学生的逻辑思维能力，运算能力有很好的锻炼价值，本题第二小题是一个恒成立的问题，求参数的范围，一般转化最值问题来求解，本题第三问也是构造函数来解答，转化为利用导数研究新构造的函数的单调性求出函数的最值，结合最值来判断根的存在与否．本题对运算能力有一定的要求，解题时一定要严谨．考查的思想方法有分类讨论，构造函数等方法思想．