Question

13．若正切函数f（x）=tan（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）且f（x）在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上为单调递增函数，那么ω的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据正切函数的单调性求得函数f（x）的增区间，再根据f（x）在$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$上为单调递增函数，可得 $（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$⊆（$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$），k∈Z，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4ω}≤-\frac{π}{3}}\\{\frac{π}{4ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，由此求得ω的最大值．

解答 对于 $f（x）=tan（{ωx+\frac{π}{4}}）（{ω＞0}）$，令kπ-$\frac{π}{2}$＜ωx+$\frac{π}{4}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$＜x＜$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$，
可得函数f（x）的增区间为（$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$），k∈Z．
结合f（x）在$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$上为单调递增函数，可得 $（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$⊆（$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{3π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$），k∈Z．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4ω}≤-\frac{π}{3}}\\{\frac{π}{4ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{ω≤\frac{9}{4}}\\{ω≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
得ω≤$\frac{1}{2}$，故ω的最大值为$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查正切函数单调性的应用，求出函数单调递增求解，判断已知区间和单调区间的关系是解决本题的关键．