Question

（本小题满分13分）

已知数列满足，数列满足，数列

满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ），，试比较与的大小，并证明；

（Ⅲ）我们知道数列如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数呢，若会，请求出的范围，若不会，请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意得：，所以是等差数列，首项，公差，

所以，从而；                        ……………………………3分

（2）由（1）得，构造函数 则

当时，单调递增，当时，单调递减，

所以，即，当且仅当时取等号， ………5分

所以，即，当且仅当时取等号，

所以

当且仅当时取等号；                        …………………………………8分

（3）由（1）知，不妨设恒成立，且，

则，等价于，      ………………10分

记，则在上单调递减，

所以恒成立；

所以     ……………………………12分

记，，所以，

所以在上单调递增，所以

所以为所求范围．                ……………………14分