题目内容

已知二次函数f（x）=x²-2x+6，设向量a=（sinx，2），b=（2sinx， $数学公式$ ），c=（cos2x，1），d=（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集为________．

（ $\text{[math]}$ ）
分析：由已知中二次函数f（x）=x²-2x+6，根据二次函数的图象和性质，我们可以分析出f（x）在（1，+∞）内单调递增，由向量数量积公式，及已经中各向量的坐标，我们易判断出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ≥1， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ≥1，进而将f（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）可化为 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，结合三角函数的性质及x∈[0，π]，可求出不等式的解集．
解答：∵二次函数f（x）=x²-2x+6，
∴f（x）图象关于x=1对称，
∴f（x）在（1，+∞）内单调递增．
又∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2sin²x+1≥1， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =cos²x+1≥1，
则f（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）可化为 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
即2sin²x+1＞2cos²x+1，
又∵x∈[0，π]，
∴x∈（ $\text{[math]}$ ）．
故不等式的解集为（ $\text{[math]}$ ）．
故答案为：（ $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的应用，二次函数的图象和性质，平面向量的数量积公式，三角函数的图象和性质，其中根据二次函数的图象和性质分析出f（x）在（1，+∞）内单调递增进而将f（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）可化为 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 是解答本题的关键．