Question

12．（1）已知2^x+2^-x=a（常数），求8^x+8^-x的值；
（2）若a，b是方程x²-6x+4=0的两根，且a＞b，求$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由2^x+2^-x=a，可得2^2x+2^-2x=（2^x+2^-x）²-2．可得8^x+8^-x=（2^x）³+（2^-x）³=（2^x+2^-x）（2^2x-1+2^-2x）．
（2）a，b是方程x²-6x+4=0的两根，且a＞b，可得a+b=6，ab=4．a-b=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$．因此$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$．

解答 解：（1）∵2^x+2^-x=a，∴2^2x+2^-2x=（2^x+2^-x）²-2=a²-2．
∴8^x+8^-x=（2^x）³+（2^-x）³=（2^x+2^-x）（2^2x-1+2^-2x）=a（a²-3）=a³-3a．
（2）a，b是方程x²-6x+4=0的两根，且a＞b，
∴a+b=6，ab=4．
∴a-b=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{{6}^{2}-4×4}$=2$\sqrt{5}$．
∴$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$=$\frac{6-2\sqrt{4}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．