题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)若对任意的恒有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,递减区间为
,当
时,递减区间为
,递增区间为
,当
时,递减区间为
,递增区间为
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间;(2)问题转化为
恒成立,根据函数的单调性求出
的值,从而求出
的取值范围.
试题解析:(1),令
,得
,
当时,
,函数
的定义域
单调递减;
当时,在区间
上
,
单调递减,在区间
上
,
单调递增;当
时,在区间
上
,
单调递减,在区间
上
,
单调递增.
故当时,递减区间为
;
当时,递减区间为
,递增区间为
;
当时,递减区间为
,递增区间为
.
(2)由(1)知当时,函数
在区间
单调递减,
所以当时,
,
问题等价于:对任意的,恒有
成立,
即,因为
,∴
,所以实数
的取值范围是
.
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