题目内容

【题目】已知函数f(x)=e|x| , 将函数f(x)的图象向右平移3个单位后,再向上平移2个单位,得到函数g(x)的图象,函数h(x)= 若对于任意的x∈[3,λ](λ>3),都有h(x)≥g(x),则实数λ的最大值为

【答案】ln2+4
【解析】解:由f(x)=e|x|的图象向右平移3个单位后可得:e|x﹣3|,再向上平移2个单位,可得e|x﹣3|+2=g(x).

当x∈[3,λ](λ>3)时,g(x)时,增函数,

∴g(x)max=g(λ)=eλ﹣3+2.

函数h(x)=

当x∈[3,5]时,h(x)=e(x﹣1)+2是增函数,此时:5≥λ>3;

那么:h(x)min=h(3)=2e+2.

则eλ﹣3+2≤2e+2.

解得:λ≤ln2+4

∵5≥λ>3;

∴实数λ的最大值为ln2+4.

当x∈(5,﹣∞)时,h(x)=4e6﹣x+2是减函数,此时:5<λ;

那么:2<h(x)<4e+2.

则eλ﹣3+2≤2.

解得:λ∈Φ,

综上可得:实数λ的最大值为ln2+4.

【考点精析】根据题目的已知条件,利用指数函数的单调性与特殊点的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握0<a<1时:在定义域上是单调减函数;a>1时:在定义域上是单调增函数.

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