题目内容
【题目】如图,OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45°方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客光,拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,建立如图所示的直角坐标系xoy,则曲线符合函数y=x+ (1≤x≤9)模型,设PM=x,修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元,题中所涉及的长度单位均为百米.
(1)求f(x)解析式;
(2)当x为多少时,总造价f(x)最低?并求出最低造价.
【答案】
(1)解:在如图所示的直角坐标系中,因为曲线C的方程为 ,
所以点P坐标为 ,
直线OB的方程为x﹣y=0,
则点P到直线x﹣y=0的距离为 ,
又PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米.
则两条道路总造价为 .
答:两条道路PM,PN总造价f(x)为 (1≤x≤9);
(2)因为 ,
所以 ,
令f'(x)=0,得x=4,列表如下:
x | (1,4) | 4 | (4,9) |
f'(x) | ﹣ | 0 | ﹣ |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以当x=4时,函数f(x)有最小值,最小值为 .
答:当x=4时,总造价最低,最低造价为30万元.
【解析】(1)由题意求出点P的坐标以及直线OB的方程根据点到直线的距离公式即可求出f(x)解析式。(2)利用导函数求出极值即为最低造价。
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