题目内容

椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1（-c，0），F2（c，0），M是椭圆上的一点，且满足
F1M
•
F2M
=0．
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5
2
；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，-
3
3
)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，椭圆的标准方程，椭圆的性质及直线与椭圆的关系等知识点，
（1）我们设M（x，y），则易得向量
F1M
，
F2M
的坐标，由
F1M
•
F2M
=0，结合向量垂直的充要条件，我们即可得到x，y的关系式，又由M又在椭圆上，代入椭圆方程即可得到离心率的取值范围．
（2）①由（1）的结论，我们易得到离心率e取得最小值时的椭圆方程（含参数），再点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5
2
，我们易得到关于参数的方程，解方程即可得到椭圆的方程．②设出未知直线的方程，然后联立直线方程与椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程，然后使用“设而不求”的方法，结合韦达定理及A、B两点能否关于过点P(0，-
3
3
)、Q的直线对称构造不等式组，解不等式组即可得到k的取值范围．
解答：解：（1）设M（x，y），则
F1M
=(x+c，y)，
F2M
=(x-c，y)
由
F1M
•
F2M
=0?x2+y2=c2?y2=c2-x2（1分）
又M在椭圆上，∴y2=b2-
b2
a2
x2（2分）
∴c2-x2=b2-
b2
a2
x2?x2=a2-
a2b2
c2
，（3分）
又0≤x2≤a2∴0＜2-
1
e2
≤1?
2
2
≤e≤1，（4分）
∵0＜e＜1，∴
2
2
≤e＜1（5分）
（2）①当e=
2
2
时得椭圆为
x2
2b2
+
y2
b2
=1
设H（x，y）是椭圆上一点，
则|HN|2=x2+（y-3）2=（2b2-2y2）+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b）
（6分）
设0＜b＜3，则-3＜-b＜0，当y=-b时，|HN|max2=b2+6b+9，，由题意得b2+6b+9=50
∴b=-3±5
2
，与0＜b＜3矛盾，（7分）
设b≥3得-b≤-3，当y=-3时，|HN|max2=2b2+18，，由2b2+18=50得b2=16，（合题薏）
∴椭圆方程是：
x2
32
+
y2
16
=1（8分）
②．设l：y=kx+m由
x2
32
+
y2
16
=1
y=kx+m
?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0
而△＞0?m2＜32k2+16（9分）
又A、B两点关于过点P(0，-
3
3
)、Q的直线对称
∴kPQ=-
1
k
，设A（x1，y1），B（x2，y2），则xQ=-
2km
1+2k2
，yQ=
m
1+2k2
（10分）
∴
yQ+
3
3
xQ
=-
1
k
?m=
1+2k2
3
（11分）
∴(
1+2k2
3
)2＜32k2+16?0＜k2＜
47
2
（10分）
又k≠0，∴-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2
（11分）
∴需求的k的取值范围是-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2
（12分）
点评：在处理直线与圆锥曲线的关系类问题时，我们的使用的方法及思路一般有：①联立方程；②设而不求；③韦达定理；④弦长公式等．
练习册系列答案
相关题目
（2011•顺义区一模）已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=
1
2
x+m与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．
（2013•海淀区一模）已知圆M：（x-
2
）2+y2=
7
3
，若椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为
2
2
．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
1
2
，P1为椭圆上一点，满足
F1F2
•
P1F2
=0，
P1F1
•
P1F2
=
9
4
，斜率为k的直线l 过左焦点F1且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为G，点Q分有向线段
GF1
所成的比为λ．
（I） 求椭圆C的方程；
（II） 设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．
精英家教网如图，已知F（c，0）是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点；⊙F：（x-c）2+y2=a2与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置关系；
（3）设直线BF与⊙F交于另一点G，若△BGD的面积为4
3
，求椭圆C的标准方程．
已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=
1
2
x+m与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．

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