Question

（2011•顺义区一模）已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，且经过点P(1，

3

2

)．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=

1

2

x+m与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率e=

1

2

，且经过点P(1，

3

2

)，结论方程组，即可求得椭圆G的方程；
（Ⅱ）直线l：y=

1

2

x+m与椭圆方程联立，利用韦达定理，进而可表示出三角形的面积，根据椭圆与直线有两个不同的交点，确定m的范围，即可求得△TAB面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知

e= 1- b2 a2 = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

----（2分）
∴椭圆G的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．----（4分）
（Ⅱ）

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

消去y得：x²+mx+m²-3=0，----（5分）
∵椭圆与直线有两个不同的交点，∴△＞0，即m²＜4，----（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀）
∴x₁+x₂=-m，x1x2=m2-3，
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

2

12-3m2

，
x0=

x1+x2

2

=-

m

2

，y0=

1

2

x0+m=

3

4

m，∴M(-

m

2

，

3

4

m)----（8分）
设T（t，0），∵MT⊥AB，∴K_MTK_AB=-1，解得t=-

m

8

，----（10分）
∴T(-

m

8

，0)，MT=

3 5

8

|m|，
∴S△TAB=

1

2

|AB|•|MT|=

15

32

-3(m2-2)2+12

，
∵0＜m²＜4----（12分）
∴当m²=2即m=±

2

时，△TAB面积最大为

15 3

16

----（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示三角形的面积是关键．