题目内容

下列命题：
①函数y=
x-1
x+1
的单调区间是（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
②函数f（x）=|x|•（|x|+|2-x|）-1有2个零点．
③已知函数f（x）=ex-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=
1
2
x垂直的切线，则实数m的取值范围是m＞2．
④若函数f（x）=
(3a-1)x+4a(x＜1)
logax    (x≥1)
对任意的x1≠x2都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜0，则实数a的取值范围是（-
1
7
，1]．
其中正确命题的序号为
②③
②③
．
分析：①函数y=
x-1
x+1
（x≠-1），只讨论在（-∞，-1）和（-1，+∞）的单调性；
②去掉f（x）中的绝对值，在每一个区间上讨论f（x）的零点情况；
③求出曲线C：f（x）的导数，即C的切线斜率，因与直线y=
1
2
x垂直，可得m的取值范围；
④由命题知f（x）是减函数，从而讨论a的取值即可．
解答：解：①∵函数y=
x-1
x+1
=1-
2
x+1
在区间（-∞，-1）和（-1，+∞）都是增函数，但在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上不是增函数，∴命题①错误；
②∵f（x）=|x|•（|x|+|2-x|）-1=
2x2-2x-1  (x≥2)
2x-1     (0＜x＜2)
2x2-2x-1(x≤0)
，∴当x≥2时，f（x）无零点，当0＜x＜2时，f（x）有1个零点，当x≤0时，f（x）有1个零点，∴命题②正确；
③∵曲线C的方程：f（x）=ex-mx+1，∴f，（x）=ex-m，由曲线C的切线与直线y=
1
2
x垂直，得（ex-m）•
1
2
=-1，∴m=ex+2＞2，∴命题③正确；
④∵f（x）=
(3a-1)x+4a(x＜1)
logax    (x≥1)
，对任意的x1≠x2都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜0，∴f（x）是减函数，即当x＜1时，有3a-1＜0，∴a＜
1
3
，当x≥1时，0＜a＜1；∴命题④错误．
综上正确命题的序号为②③．
故答案为：②③．
点评：本题通过命题真假的判定，考查了函数与导数知识的综合应用，是容易出错的题目
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
①函数y=sin(
5π
2
-2x)是偶函数；
②函数y=sin(x+
π
4
)在闭区间[-
π
2
，
π
2
]上是增函数；
③直线x=
π
8
是函数y=sin(2x+
5π
4
)图象的一条对称轴；
④若cosx=-
1
3
，x∈(0，2π)，则x=arcos（-
1
3
）或π+arcos（-
1
3
）
其中正确的命题的序号是：
①③
①③
．
关于函数f(x)=lg
x2+1|x|
(x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；
③函数f（x）的最小值为lg2；
④在区间（1，∞）上，函数f（x）是增函数．
其中正确命题序号为
①③④
①③④
．
已知下列命题：
①函数y=sin(-2x+
π
3
)的单调增区间是[-kπ-
π
12
，-kπ+
5π
12
](k∈Z)．
②要得到函数y=cos(x-
π
6
)的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动
π
3
个单位长度．
③已知函数f（x）=2cos2x-2acosx+3，当a≤-2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．
④y=sinwx（w＞0）在[0，1]上至少出现了100次最小值，则w≥
399
2
π．
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
给出下列命题：
①函数y=f（x-2）与函数y=f（2-x）的图象关于x=2对称；
②函数y=f（x）导函数为y=f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）必为函数y=f（x）的极值；
③函数y=sinx在一象限单调递增；
④y=tanx在其定义域内为单调增函数．
其中正确的命题序号为
①
①
．
关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的周期为π；                
②直线x=
π
4
是y=f（x）图象的一条对称轴；
③点(
π
8
，0)是y=f（x）图象的一个对称中心；
④(-
π
8
，
3π
8
)是函数y=f（x）的一个单调递减区间．
其中真命题的序号是
①③
①③
．

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