Question

11．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$+1+2alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，求a+b的值；
（2）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，并且x₁＜x₂．
①求实数a的取值范围；
②若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））两点连线的斜率为k，求证：$\frac{1}{2}$k-1＞a．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可；
（2）求函数的导数，根据函数的导数和极值之间的关系，结合直线的斜率公式求解和证明即可．

解答 解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{2a}{x}$=$\frac{{x}^{2}+2ax+1}{{x}^{2}}$，
∵函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，
∴f′（1）=2+2a=0，解得a=-1．
∵f（1）=1=b，
∴a+b=0．
（2）①∵函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，并且x₁＜x₂．
∴f′（x）=0有两个不等的正根，
即x²+2ax+1=0有两个不等正根，
令g（x）=x²+2ax+1，
∵g（0）=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a＞0}\\{△=4{a}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，解得a＜-1，
即实数a的取值范围（-∞，-1]；
②由①知x₁x₂=1，x₁＜1＜x₂．x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$＞0，
故$\frac{1}{2}k-1$=$\frac{1}{2}•\frac{{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}+1+2aln{x}_{2}-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-1-2aln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{2aln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$）-1=$\frac{2aln{x}_{2}}{{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}}$，
令h（x）=2lnx-x+$\frac{1}{x}$，
则h′（x）=$\frac{2}{x}-1-\frac{1}{{x}^{2}}=-\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}＜0$，
∴函数h（x）单调递减，h（x₂）＜h（1）=0，
∴2lnx₂-x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$＜0，
∴$\frac{2aln{x}_{2}}{{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}}$＜1，
∵a＜-1，∴$\frac{2aln{x}_{2}}{{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}}$＞a，
即$\frac{1}{2}k-1＞a$．

点评 本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算和推理能力．