题目内容

20．设a，b，c＞0，a+b+c=1，求证：$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$≤3$\sqrt{2}$．

分析 由柯西不等式得：（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$）2≤（12+12+12）[（$\sqrt{3a+1}$）2+（$\sqrt{3b+1}$）2+（$\sqrt{3c+1}$）2]=3[3（a+b+c）+3]=18，即可证明结论．

解答 证明：由柯西不等式得：（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$）2≤（12+12+12）[（$\sqrt{3a+1}$）2+（$\sqrt{3b+1}$）2+（$\sqrt{3c+1}$）2]=3[3（a+b+c）+3]=18，
∴$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$≤3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．

练习册系列答案
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10．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（　　）
A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人
11．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$+1+2alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，求a+b的值；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．
①求实数a的取值范围；
②若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两点连线的斜率为k，求证：$\frac{1}{2}$k-1＞a．
8．函数f（x）=cos2x+4cosx的值域为[-3，5]．
15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（2cos2$\frac{φ}{2}$-1，sinφ），且函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$（0＜φ＜π）在x=π时取得最小值．求φ的值．
4．已知f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，且点B的坐标为（2，0），若函数f（x）在[-2，0]和[5，7]上均为单调函数，且f（x）在[-2，0]和[5，7]上的单调性相同，在[0，3]和[5，7]上的单调性相反．
（1）求实数c的值，并用a、b表示d；
（2）证明：曲线y=f（x）上不存在点M，使曲线在点M处的切线与直线x+3by+a=0垂直．
11．如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1上的点．试确定D的位置，使得DC1⊥平面DBC，并求此时二面角A-BD-C的大小．
8．已知sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，且0＜α＜π．求sin2α，cos2α，tan2α的值．
9．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求c的值．

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