题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆的方程式;
(2)已知动直线与椭圆相交于两点.
①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;
②已知点,求证: 为定值.
【答案】(1)+=1
(2)①±②见解析
【解析】试题分析:(1)解:因为椭圆C满足 ,根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为,可得,据此即可求出椭圆C的标准方程;(2)①设将代入中,消元得,然后再利用韦达定理和中点坐标公式即可求出结果;②由①知, ,所以代入韦达定理化简即可证明结果.
试题解析:(1)解:因为椭圆C: 满足 ,
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为,
可得.
从而可解得,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)①解:设
将代入中,
消元得,
, ,
因为AB中点的横坐标为,所以,解得.
②证明:由①知, ,
所以
.
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