Question

11．已知平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ（cosθ-sinθ）+5=0．
（I）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂的距离的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把极坐标方程转化成直角坐标方程．
（Ⅱ）利用点到直线的距离与半径的比较来判断曲线间的位置关系，最后求出最值．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=1+sinα\end{array}\right.$（α为参数）转化成直角坐标方程得：
x²+（y-1）²=1                                …（2分）
由ρ（cosθ-sinθ）+5=0．转化成直角坐标方程为：x-y+5=0．…（5分）
（II）由（I）知c₁为以（0，1）为圆心，1为半径的圆，
∵c₁的圆心（0，1）到c₂的距离d=$\frac{|-1+5|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}＞1$
∴c₁和c₂没有公共点
∴$|PM{|}_{max}=1+2\sqrt{2}$，$|PM{|}_{min}=2\sqrt{2}-1$，

∴|PM|的取值范围是[$2\sqrt{2}-1，2\sqrt{2}+1$]…（10分）

点评 本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系的应用．