Question

设

a

=(x，1)，

b

=(2，-1)，

c

=(x-m，m-1)（x∈R，m∈R）．
（Ⅰ）若

a

与

b

的夹角为钝角，求x的取值范围；
（Ⅱ）解关于x的不等式|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|．

Answer 1

分析：（1）根据已知中向量

a

与

b

的坐标及

a

与

b

的夹角为钝角，根据向量数量积的定义，可得

a

•

b

＜0，由此可构造不等式，但要注意对向量反向情况的排除；
（2）根据|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|利用平方法可得

a

•

c

＜0，由此构造不等式，对m分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）∵

a

=(x，1)，

b

=(2，-1)，
若

a

与

b

的夹角为钝角，
则

a

•

b

=2x-1＜0，
解得x＜

1

2

；
又当x=-2时，

a

与

b

的夹角为π，
所以当

a

与

b

的夹角为钝角时，
x的取值范围为(-∞，-2)∪(-2，

1

2

)．…（6分）
（2）由|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|知，

a

•

c

＜0，
又∵

c

=(x-m，m-1)
∴（x-1）[x-（m-1）]＜0；…（8分）
当m＜2时，解集为{x|m-1＜x＜1}；…（10分）
当m=2时，解集为空集；…（12分）
当m＞2时，解集为{x|1＜x＜m-1}．…（14分）

点评：本题考查的知识点是数量积，一元二次不等式的解法，其中（1）中易忽略当x=-2时，

a

与

b

的夹角为π，而错解为(-∞，

1

2

)