Question

【题目】设， ，函数， .

（Ⅰ）若与有公共点，且在点处切线相同，求该切线方程；

（Ⅱ）若函数有极值但无零点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当， 时，求在区间的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）.

【解析】试题分析：（1）利用切线的几何意义求切线的斜率；（2）利用导数分析函数的单调性，结合极值，只需极小值大于0或极大值小于0即可求出；（3）利用导数判断新函数的单调性及极值，再结合定义域分析函数再区间上的最小值．

试题解析：（Ⅰ）由得

；

在点的切线方程为 ，即．

（Ⅱ）当时，由恒成立，可知函数在定义域单调递增，此时无极值．

当时，由得；由得； 得．

于是， 为极大值点，且 ．

由于函数无零点，因此 ，解得

（Ⅲ）不妨设得 ．

设， ，

设的两根为， ；且，由得， 且．

．

时；

时；

时．

在递增， 递减．

①当时，即解得时， ， 在递减；

．

②当时，即解得时， ， 在递增；

．

③当时，即时， 在递增， 递减；

．

（i）当时， ，

．

（ii）当时， ，

．

综合①、②、③得在区间的最小值；

．