Question

设函数f（x）的定义域是R，对于任意的x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）用函数单调性的定义证明函数f（x）为增函数；
（4）若f（cos²θ+2sinθ）+f（-2m-2）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）取x=y=0即可求得f（0）的值；
（2）令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，从而可判断其奇偶性；
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判断其符号即可证得f（x）为R上的增函数；
（4）依题意，可得m≤

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cos²θ+sinθ-1恒成立，构造函数y=

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2

cos²θ+sinθ-1=-

1

2

（sinθ-1）²，可求得其最小值，从而可得m的取值范围．

解答：解：（1）取x=y=0得，f（0）=0；
（2）函数f（x）为奇函数，理由如下：已知函数的定义域为R，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；                        
（3）证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）为R上的增函数．             
（4）由f（cos²θ+2sinθ）+f（-2m-2）≥0恒成立，f（x）为奇函数，
得：f（cos²θ+2sinθ）≥f（2m+2）恒成立，又函数f（x）为R上的增函数，
∴cos²θ+2sinθ≥2m+2恒成立，
即m≤

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2

cos²θ+sinθ-1恒成立，
设y=

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2

cos²θ+sinθ-1=-

1

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sin²θ+sinθ-

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2

=-

1

2

（sinθ-1）²，
令t=sinθ，则t∈[-1，1]，
∴由y=-

1

2

（sinθ-1）²知t=-1时，y_min=-2，
则m≤-2，即实数m的取值范围为（-∞，-2]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判定与函数恒成立问题，考查转化思想与综合运算求解能力，属于难题．