Question

设函数f(x)＝(x＞0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f (n∈N*，且n≥2)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)n－1·anan＋1，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．

 

Answer 1

（1）an＝（2）

【解析】(1)因为an＝f＝＝an－1＋ (n∈N*，且n≥2)，

所以an－an－1＝.因为a1＝1，

所以数列{an}是以1为首项，公差为的等差数列．

所以an＝.

(2)①当n＝2m，m∈N*时，

Tn＝T2m＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)2m－1a2ma2m＋1

＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2m(a2m－1－a2m＋1)

＝－ (a2＋a4＋…＋a2m)＝－××m

＝－(8m2＋12m)＝－(2n2＋6n)．

②当n＝2m－1，m∈N*时，

Tn＝T2m－1＝T2m－(－1)2m－1a2ma2m＋1＝－(8m2＋12m)＋(16m2＋16m＋3)

＝(8m2＋4m＋3)＝(2n2＋6n＋7)．

所以Tn＝要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，只要使－ (2n2＋6n)≥tn2，(n为正偶数)恒成立．

只要使－≥t，对n∈N*恒成立，故实数t的取值范围为