Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为．记动点C的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）且；（3）不存在常数k，使得向量与共线.

(Ⅰ) 设C（x, y）, ∵, , ∴,∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点．
∴． ∴．∴W:   ．……2分
(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得．
整理，得．        ①…………………………5分
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得或．
∴满足条件的k的取值范围为且……7分
（Ⅲ）设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),则＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,
由①得．②  又    ③
因为，，所以．………………………11分
所以与共线等价于．将②③代入上式
解得．所以不存在常数k，使得向量与共线．…12分∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点．
∴． ∴．∴W:   ．……2分
(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得．
整理，得．        ①…………………………5分
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得或．
∴满足条件的k的取值范围为且……7分
（Ⅲ）设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),则＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,
由①得．②  又    ③
因为，，所以．………………………11分
所以与共线等价于．将②③代入上式
解得．所以不存在常数k，使得向量与共线．…12分