题目内容
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件:△ABC的周长为
.记动点C的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)经过点(0,
)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围;
(Ⅲ)已知点M(
),N(0, 1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量
与
共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)经过点(0,

(Ⅲ)已知点M(



(1)
;(2)
且
;(3)不存在常数k,使得向量
与
共线.





(Ⅰ) 设C(x, y), ∵
,
, ∴
,∴由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为
的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴
. ∴
.∴W:
.……2分
(Ⅱ) 设直线l的方程为
,代入椭圆方程,得
.
整理,得
. ①…………………………5分
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
,解得
或
.
∴满足条件的k的取值范围为
且
……7分
(Ⅲ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
=(x1+x2,y1+y2),
由①得
.② 又
③
因为
,
,所以
.………………………11分
所以
与
共线等价于
.将②③代入上式
解得
.所以不存在常数k,使得向量
与
共线.…12分∴由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为
的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴
. ∴
.∴W:
.……2分
(Ⅱ) 设直线l的方程为
,代入椭圆方程,得
.
整理,得
. ①…………………………5分
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
,解得
或
.
∴满足条件的k的取值范围为
且
……7分
(Ⅲ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
=(x1+x2,y1+y2),
由①得
.② 又
③
因为
,
,所以
.………………………11分
所以
与
共线等价于
.将②③代入上式
解得
.所以不存在常数k,使得向量
与
共线.…12分




∴




(Ⅱ) 设直线l的方程为


整理,得

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于



∴满足条件的k的取值范围为


(Ⅲ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

由①得


因为



所以



解得




∴




(Ⅱ) 设直线l的方程为


整理,得

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于



∴满足条件的k的取值范围为


(Ⅲ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

由①得


因为



所以



解得




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