题目内容
【题目】已知抛物线(
),过其焦点
作斜率为1的直线交抛物线
于
,
两点,且
,
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动点的圆心在抛物线
上,且过点
,若动圆
与
轴交于
两点,且
,求
的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)设直线与抛物线联立方程组,利用韦达定理得到x1+x2=2p,y1+y2=3p,通过|MN|=y1+y2+p=4p=16,求出p,即可求出抛物线C的方程.
(2)设动圆圆心,得
,求
的表达式,推出x0的范围,然后求解
的最小值.
试题解析:
(1):
联立,
设,则
又因为直线过焦点,则
,
所以该抛物线的方程为: .
(2)设,由于圆
过点
,
则圆P的方程为: ,
令,则
.由对称性,
,不妨
,则
.
故
由于,
故,(
时取等)
所以的最小值为
.
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