题目内容

设函数f（x）=
x
x+2
（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=
x
x+2
，f2（x）=f（f1（x））=
x
3x+4
，f3（x）=f（f2（x））=
x
7x+8
，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn（x）=
x
(2n-1)x+2n
x
(2n-1)x+2n
．
分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．
解答：解：观察：f1（x）=f（x）=
x
x+2
，f2（x）=f（f1（x））=
x
3x+4
，f3（x）=f（f2（x））=
x
7x+8
，…，
可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故fn（x）=
x
(2n-1)x+2n
．
故答案为
x
(2n-1)x+2n
点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=
x
x+2
（x＞0），观察：
 f1（x）=f（x）=
x
x+2
，
 f2（x）=f（f1（x））=
x
3x+4
，
 f3（x）=f（f2（x））=
x
7x+8
，
 f4（x）=f（f3（x））=
x
15x+16
，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=
 
．
设函数f（x）=m-e-nx（m，n∈R）
（1）若f（x）在点x=0处的切线方程为y=x，求m，n的值．
（2）在（1）条件下，设x≥0且
x
x+a
有意义时，恒有f(x)≥
x
x+a
成立，求a的取值范围．
设函数f（x）=ax+
x
x-1
（x＞1），若a从1、2、3这三个数中任取一个所得的数，b 是从2、3、4、5这四个数中任取一个所得的数，则使f（x）＞b恒成立的概率为
5
6
5
6
．
设函数f（x）=
x
x+2
(x＞0)，定义fn（x），n∈N如下：当n=1时，f1（x）=f（x）；当n∈N且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））．观察：
f1（x）=f（x）=
x
x+2

f2（x）=f（f1（x））=
x
3x+4

f3（x）=f（f2（x））=
x
7x+8

f4（x）=f（f3（x））=
x
15x+16

…
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N时，fn（x）=
x
(2n-1)x+2n
x
(2n-1)x+2n
．

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