题目内容
如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
解法一:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.…………
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴,
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,,
∴与平面所成的角的余弦值为.…………
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,
故存在点E使得二面角是直二面角. …………
解法二:如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,
设,由已知可得
.
(Ⅰ)∵,
∴,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.…………
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵,
∴.
∴与平面所成的角的余弦值为.………
(Ⅲ)同解法1.
又,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.…………
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴,
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,,
∴与平面所成的角的余弦值为.…………
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,
故存在点E使得二面角是直二面角. …………
解法二:如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,
设,由已知可得
.
(Ⅰ)∵,
∴,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.…………
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵,
∴.
∴与平面所成的角的余弦值为.………
(Ⅲ)同解法1.
略
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