题目内容
【题目】已知是自然对数的底数,函数
与
的定义域都是
.
(1)求函数在点
处的切线方程;
(2)求证:函数只有一个零点
,且
;
(3)用表示
,
的最小值,设
,
,若函数
在
上为增函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)见证明(3)
【解析】
(1)利用导数的几何意义求函数在点
处的切线方程为
.(2)先计算得
,所以
存在零点
,且
.再证明
在
上是减函数,即得证函数
只有一个零点
,且
.(3)由题得
,
在
为增函数
在
,
恒成立,即
在区间
上恒成立. 设
,只需证明
,再利导数求得
的最小值
,
.
(1)∵,
∴切线的斜率,
.
∴函数在点
处的切线方程为
.
(2)证明:∵,
,
∴,
,
,
∴存在零点
,且
.
∵,
∴当时,
;
当时,由
得
.
∴在
上是减函数.
∴若,
,
,则
.
∴函数只有一个零点
,且
.
(3)解:,故
,
∵函数只有一个零点
,
∴,即
.
∴.
∴在
为增函数
在
,
恒成立.
当时
,即
在区间
上恒成立.
设,只需
,
,
在
单调减,在
单调增.
的最小值
,
.
当时,
,由上述得
,则
在
恒成立.
综上述,实数的取值范围是
.

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