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题目内容

【题目】已知函数f(x)=(λx+1)ln x-x+1.

(1)若λ=0,求f(x)的最大值;

(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直,证明:>0.

【答案】见解析

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),

当λ=0时,f(x)=ln x-x+1.

则f′(x)=-1,令f′(x)=0,解得x=1.

当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数;

当x>1时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数.

故f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0.

(2)证明:由题可得,f′(x)=λln x+-1.

由题设条件,得f′(1)=1,即λ=1.

f(x)=(x+1)ln x-x+1.

由(1)知,ln x-x+1<0(x>0,且x≠1).

当0<x<1时,f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1)<0,

>0.

当x>1时,f(x)=ln x+(xln x-x+1)=ln x-x>0,>0.

综上可知,>0.

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