题目内容
【题目】已知函数f(x)=(λx+1)ln x-x+1.
(1)若λ=0,求f(x)的最大值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直,证明:>0.
【答案】见解析
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
当λ=0时,f(x)=ln x-x+1.
则f′(x)=-1,令f′(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,1)上是增函数;
当x>1时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)上是减函数.
故f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0.
(2)证明:由题可得,f′(x)=λln x+-1.
由题设条件,得f′(1)=1,即λ=1.
∴f(x)=(x+1)ln x-x+1.
由(1)知,ln x-x+1<0(x>0,且x≠1).
当0<x<1时,f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1)<0,
>0.
当x>1时,f(x)=ln x+(xln x-x+1)=ln x-x>0,∴>0.
综上可知,>0.
【题目】为了研究某学科成绩(满分100分)是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到下图所示女生成绩的茎叶图.其中抽取的男生中有21人的成绩在80分以下,规定80分以上为优秀(含80分).
(1)请根据题意,将2×2列联表补充完整;
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 | 50 |
(2)据此列联表判断,是否有90%的把握认为该学科成绩与性别有关?
附: ,其中.
参考数据 | 当≤2.706时,无充分证据判定变量A,B有关联,可以认为两变量无关联; |
当>2.706时,有90%的把握判定变量A,B有关联; | |
当>3.841时,有95%的把握判定变量A,B有关联; | |
当>6.635时,有99%的把握判定变量A,B有关联. |