Question

设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b组成数对（a，b），并构成函数f（x）=ax²-4bx+1
（Ⅰ）写出所有可能的数对（a，b），并计算a≥2，且b≤3的概率；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（1）列举出所有的可能的数对，由分步计数原理知共有15个，看清要求满足的条件，写出所有的数对，要做到不重不漏．
（2）设事件“f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数”为B，因函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

且a＞0，所以要使事件B发生，只需

2b

a

≤1即2b≤a，写出所有的满足条件的数对．

解答：解：（Ⅰ）所有基本事件如下：
（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共有15个．
设事件“a≥2，且b≤3”为A，
则事件A包含的基本事件有8个，
所以P（A）=

8

15

．
（Ⅱ）设事件“f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数”为B，
因函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

且a＞0，
所以要使事件B发生，只需

2b

a

≤1即2b≤a．
由满足题意的数对有（1，-1）、（2，-1）、（2，1）、（3，-1）、（3，1），共5个，
∴P（B）=

5

15

=

1

3

．

点评：本题主要考查列举，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点．