Question

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析：（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数对应的事件数，利用古典概型概率的计算公式，即可得到结论；
（2）以面积为测度，计算试验的全部结果所构成的区域的面积及事件A构成的区域的面积，利用公式可得结论．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且

2b

a

≤1，即2b≤a…（2分）
若a=1则b=-1，若a=2则b=-1，1若a=3则b=-1，1…（4分）
记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，
∴P(B)=

5

15

=

1

3

…（6分）
（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为Ω={(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}，
其面积SΩ=

1

2

×8×8=32…（8分）
事件A构成的区域：A={(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0 f(1)＜0

}={(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0 a-4b+1＜0

}
由

a+b-8=0 a-4b+1=0

，得交点坐标为(

31

5

，

9

5

)，…（10分）
∴SA=

1

2

×(8-

1

4

)×

31

5

=

961

40

，
∴事件A发生的概率为P(A)=

SA

SΩ

=

961

1280

…（12分）

点评：本题考查概率的计算，明确概率的类型，正确运用公式是关键．